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Modulation spatiale de lumière

2024-06-24T19:22:21Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----
[[File:sombrero_slm.png|thumb|320px|right]]

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:40:18Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:39:14Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----
[[File:sombrero_slm.png|thumb|320px|right|légende]]

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:38:30Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

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'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

[[File:sombrero_slm.png|thumb|320px|right|légende]]
Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:38:10Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

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'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

[[File:sombrero_slm.png|thumb|350px|right|légende]]
Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:37:47Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

[[File:sombrero_slm.png|thumb|500px|right|légende]]
Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:36:51Z

Ggredat : /* TP - Simulation de transformées de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

[[File:sombrero_slm.png|thumb|300px|right|légende]]
Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:35:28Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero_slm.png|border|300px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Fichier:Sombrero slm.png

2024-06-22T20:34:52Z

Ggredat :

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T20:34:26Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero_slm.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:41:24Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

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'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est liée à l'étude du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]] proposée un peu plus loin.

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau 2D d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:36:16Z

Ggredat : /* Pouvoir de résolution des instruments d'optique */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des sources indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

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'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:35:57Z

Ggredat : /* Pouvoir de résolution des instruments d'optique */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à des indiscernables.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:33:26Z

Ggredat : /* TP - Holographie numérique */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

'''Principe et définition de l'holographie numérique'''

À venir

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:29:41Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple utile (mais non trivial)'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:26:22Z

Ggredat : /* TP - Simulation de transformées de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

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'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:24:19Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

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'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la variable <math> \rho </math> vérifiant <math> \rho^2 = 4\,R^2\,\left(\nu_X^2 + \nu_Y^2 \right)\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:16:27Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

La transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:14:03Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\pi \,\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T19:13:24Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction ''sombrero'' définie telle que <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T15:08:16Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

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'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

&clubs; Quelle est l'influence de la production d'une pupille par répétition périodique sur une réseau d'un motif de base ? C'est par exemple ce qui est fait pour l'étude de la tache d'Airy ou encore pour la pupille gaussienne ci-après.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T15:05:38Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire, par une description mathématique, l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vue comme le produit de convolution d'une fente et de deux trous ponctuels. Prédire et simuler sa transformée de Fourier. Reproduire ensuite l'étude de la bifente réalisée dans la partie [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]].

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de deux pupilles en forme d'étoile à 5 branches, situées l'une à côté de l'autre.

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:59:03Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

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'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Une bifente peut-être vu comme le produit de convolution d'un fente et de deux trous ponctuels. Prédire

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:56:33Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math> \mathrm{Circ}_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:54:23Z

Ggredat : /* Principe de la modulation spatiale de lumière */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F = 400\,\mathrm{mm}</math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math>Circ_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:52:54Z

Ggredat : /* TP - Simulation de transformées de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction <math>Circ_R </math> vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:52:02Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

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'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction Circ vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1 et la coordonnée polaire radiale étant donnée par <math> \rho^2 = \nu_X^2 + \nu_Y^2\,</math>.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math>. L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:47:10Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

'''Un exemple'''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction Circ vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' : <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho/(\lambda\,F\,R))\,</math> en notant la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math>.

L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:46:00Z

Ggredat : /* TP - Simulation de transformées de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

----

''Un exemple''

Comme étudié dans la partie [[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale vérifie <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction Circ vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée de Fourier est décrite par la fonction '''sombrero''' <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho/(\lambda\,F\,R))\,</math> en notant la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math>.

L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs; Prédire et simuler la transformée de Fourier de la fonction <math> \mathrm{Circ}_R\left(r\right) \times \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) </math> en fabriquant une pupille circulaire à l'intérieure de laquelle la transmission varie sinusoïdalement. La différence entre ce qui est prédit et ce qui est observé est lié à l'étude proposé un peu plus loin du [[#Taux de distorsion harmonique|taux de distorsion harmonique]].

&clubs; Étudier l'influence sur la figure obtenue du rayon <math> R </math> et de la fréquence spatiale <math> \nu_0 </math>.

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T14:27:01Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnelle à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----

'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Comme étudié dans la partie[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]], les ouvertures circulaires ont une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

Mathématiquement, le facteur de transmission de l'ouverture circulaire s'écrit <math> t(x,y) = \mathrm{Circ}_R\left(r\right) </math> où la coordonnée polaire radiale <math> r^2 = x^2 + y^2\,</math> et la fonction vaut 1 si <math> r \leq R </math> et 0 sinon.

Sa transformée est décrite par la fonction '''sombrero''' <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1.

[[File:sombrero.png|border|600px|légende]]

Dans le plan de Fourier, l'intensité de la tache d'Airy s'écrit alors <math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho/(\lambda\,F\,R))\,</math> en notant la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math>.

L'invariance selon la coordonnée polaire angulaire donne une symétrie de révolution à la figure observée.

Il est à noter que la première annulation de la fonction <math>J_1</math> se produit pour une valeur de 1,22.

----

&clubs;

&clubs; Faire. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer. Changer les paramètres comme le rayon

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:59:35Z

Ggredat : /* Fonction stable par transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer la pupille gaussienne '''gauss.png''' dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:41:51Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 ''Cliché 51'']]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:40:48Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51 |''Cliché 51'']]]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
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&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:40:19Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51|Cliché 51]]]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:39:56Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51| Cliché 51]]]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:39:17Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb| [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51| Cliché 51]]]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:36:56Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb| [https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51| Cliché 51]]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:36:34Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb| [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Clich%C3%A9_51|Cliché 51]]]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Fichier:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg

2024-06-22T12:34:07Z

Ggredat :

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:33:00Z

Ggredat : /* Simuler la diffraction par une molécule d'ADN */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|thumb|60251254 photo-51-print-qp867-a4 2]]

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|60251254 photo-51-print-qp867-a4 2]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:31:23Z

Ggredat : /* TP - Simulation de transformées de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|60251254 photo-51-print-qp867-a4 2]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-22T12:30:46Z

Ggredat :

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

[[File:60251254 photo-51-print-qp867-a4 2.jpg|60251254 photo-51-print-qp867-a4 2]]

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:34:06Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

[[#Pouvoir de résolution des instruments d'optique|Pouvoir de résolution des instruments d'optique]]
----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:32:14Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(Circ) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}^2(\rho)\,</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} \, </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2\,</math> et <math> J_1 \,</math> la fonction de Bessel de premier ordre.

----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:30:51Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(cercle) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}(\rho)^2</math> où <math> \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2</math> et <math> J_1 </math> la fonction de Bessel de premier ordre.

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&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:29:42Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(cercle) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}(\rho)^2 \quad \mathrm{où} \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho)}{\pi\,\rho} </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2</math> et <math> J_1 </math> la fonction de Bessel de premier ordre.

----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:28:58Z

Ggredat : /* Propriétés de la transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

----
'''Interlude : TF(cercle) = Sombrero'''

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

<math> I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}(\rho)^2 \quad \mathrm{où} \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho}{\pi\,\rho} </math> avec la coordonnée polaire radiale <math> \rho^2 = X^2 + Y^2</math> et <math> J_1 </math> la fonction de Bessel de premier ordre.

----

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs;

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:19:03Z

Ggredat : /* Transformées de Fourier à deux variables */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Fonction sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:18:47Z

Ggredat : /* TP - Simulation de transformées de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; Fonction sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel <math> J_1 </math>

[[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

=== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ===

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.

Modulation spatiale de lumière

2024-06-21T21:05:36Z

Ggredat : /* Fonction stable par transformée de Fourier */

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole &clubs; marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

= '''Principe de la modulation spatiale de lumière '''=

[[File:LC2012.jpg|frameless|border|275px|right|légende]] [[File:LCOS_slm.png|frameless|border|275px|left|légende]] La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez ''Holoeye'' est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé ''modulateur spatial de lumière'' ou SLM (pour ''spatial light modulator'').

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde <math> \lambda = 532\,\mathrm{nm} </math> élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes.

Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés <math>\mathcal{P}</math> sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille <math> \mathcal{L}_\Pi </math> de distance focale <math> F </math> et, dans son plan focal que l'on appellera '''plan de Fourier''', une caméra ''Thorlabs''. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

[[File:Manip_SLM.png|border|500px|légende]]

[[File:Dispositif_slm_bis.png|border|500px|légende]]

= '''Connexion et manipulation distante'''=

Se connecter à la station de travail '''[https://remote.iut-orsay.fr/#/client/NTMxAGMAbXlzcWw%3D pcj218-18]''', lancer l'utilitaire '''SLM.exe''' situé dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

== '''Description de l'utilitaire'''==

L'utilitaire '''SLM.exe''' est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

[[File:utilitaire_slm.png|border|450px|légende]]

* Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
* Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
* Piloter le SLM : lance l'application du constructeur '''Holoeye''' pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
* Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur '''Thorlabs''' pour capturer l'image et l'analyser.
* Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

== '''Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran'''==

[[File:holoeye1.png|border|450px|légende]]
* Au lancement, le logiciel '''Holoeye''' reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur ''use Device''.
[[File:holoeye2.png|border|légende]]
* La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur ''Ok''. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.
[[File:holoeye3.png|border|légende]]
* Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie [[#TP - Holographie numérique|TP-Holographie numérique]].
[[File:holoeye4.png|border|légende]]
* À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

== '''Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier'''==

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

[[File:thorcam1.png|border|150px|légende]]

* Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

[[File:thorcam_rectangle.png|border|légende]]

* Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

== '''Avertissement'''==

'''Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.'''

= '''TP - Diffraction par une pupille quelconque'''=

Dans l'application '''Holoeye''', n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

&clubs; Ouvrir '''Paint''' ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

&clubs; Dans '''Holoeye''', ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

----

'''Un exemple'''

On trace, à l'aide de '''Paint''', une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

[[File:star_slm.png|600px|border|légende]]

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

[[File:star2_slm.png|600px|border|légende]]

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le [[#TP - Simulation de transformées de Fourier|TP simulation de transformées de Fourier]] situé un peu plus loin.

[[File:star3_slm.png|600px|border|légende]]

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

=='''Simuler la diffraction par une molécule d'ADN'''==

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le ''cliché 51''.

&clubs; Reproduire ce travail de simulation du ''cliché 51''.

&clubs; Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

&clubs; Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

[[File:ADN_slm.png|border|600px|légende]]

=='''Principe de Babinet'''==

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

&clubs; Utiliser dans '''Holoeye''' la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit''). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur '''Thorcam''' la figure de diffraction.

[[File:ouverture_slm.png|300px|border|légende]][[File:slit_slm.png|300px|border|légende]]

&clubs; Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans '''Holoeye''', utiliser l'inversion exact des valeurs (''invert currently displayed bitmap''). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

=='''Pouvoir de résolution des instruments d'optique '''==

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires.
La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

&clubs; Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

[[File:cercles_slm.png|border|600px|légende]]

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

&clubs; Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

= '''TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes'''=

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés.
On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de '''Thorlabs'''. On utilisera les termes ''tache centrale'', ''taches secondaires'', ''interfrange'' et ''ordres d'interférence''.

&clubs; À l'aide de l'outil de création de fonction optique de '''Holoeye''', créer une fente fine (''essential optical functions''>''Aperture functions''>''show single slit'') noire sur fond blanc (''invert currently displayed bitmap''), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

[[File:1fente.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un système de deux fentes fines (''...> show double slits'') noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

[[File:2fentes.png|border|600px|légende]]

&clubs; Créer un réseau de fentes fines (''Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating'') noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

[[File:Nfentes_slm.png|border|600px|légende]]

= '''TP - Simulation de transformées de Fourier '''=

== '''Transformées de Fourier à deux variables''' ==
Soit une variable spatiale <math> x </math> et sa variable réciproque (fréquence spatiale) <math> \nu </math>.
On appelle ''transformée de Fourier'' l'application :

<math> f(x) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu\,x}\,\mathrm{d} x\,.
</math>

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

<math> f(x,y) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu_x, \nu_y \right) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_x\,x}\,\,\mathrm{e}^{-j\,2\,\pi\,\nu_y\,y}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y\,.
</math>

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale <math> F </math>, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission <math> t\left(x,y\right) </math> de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté <math> (x, y) </math> les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant <math> (X, Y) </math> les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse <math> I(X,Y) </math> observée vérifie alors :

<math> I(X,Y) \propto \left|\widehat{t}\left(\frac{X}{\lambda\,F}, \frac{Y}{\lambda\,F}\right) \right|^2</math>.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont <math> \nu_X = X / (\lambda\,F) </math> et <math> \nu_Y = Y/(\lambda\,F)</math>.

== '''Propriétés de la transformée de Fourier''' ==

'''Changement d'échelle'''

On a :

<math> f\left( T \times x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{T} \times \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)</math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à <math> \left| \widehat{f}\left(\dfrac{\nu}{T} \right)\right|^2</math>.

&clubs; Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille <math> a \times b = 20 \times 30 \,\mathrm{pixels} </math>. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction <math> t\left(x,y \right) = \Pi_a\left(x\right) \times \Pi_b\left(y\right)</math> avec <math> \Pi </math> la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

&clubs; Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient <math> T \in \left[ 1,\,5 \right] </math>. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

[[File:rectangle1_slm.png|border|600px|légende]]

[[File:rectangle2_slm.png|border|600px|légende]]

'''Translations'''

''Dans l'espace direct''

On a :

<math> f(x-a) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \mathrm{e}^{-2\,j\,\pi\,a\,\nu} \times \widehat{f}\left(\nu \right) </math>.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

&clubs; Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du [[#TP - Diffraction par une pupille quelconque|TP sur la diffraction par une pupille quelconque]].

''Dans l'espace réciproque''

On a :

<math> f(x) \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \widehat{f}\left(\nu - \nu_0 \right) + \widehat{f}\left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

&clubs;

[[File:cercle_sin_slm.png|border|600px|légende]]

'''Produit de convolution'''

On a :

<math> f \circ g \left(x \right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \widehat{f}\left(\nu \right) \times \, \widehat{g} \left(\nu \right) </math>

&clubs; [[#TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes|TP sur la diffraction par une bifente]]

== '''Fonction stable par transformée de Fourier''' ==

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera <math> \sigma </math>.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par :
<math> f(x,y) = \dfrac{1}{2\,\pi\,\sigma_x\,\sigma_y} \exp\left(-\frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{\sigma_x^2} + \frac{x^2}{\sigma_y^2}\right] \right) \quad \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \quad \widehat{f}(\nu_x,\nu_y) = \exp\left(2\,\pi^2 \left[ \nu_x^2 \,\sigma_x^2 + \nu_y^2\,\sigma_y^2\right]\right) </math>

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier '''T:\Mphy\Cartable\TP_SLM'''.

[[File:pupille_gauss_slm.png|200px|border|légende]]

&clubs; Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

[[File:gauss1_slm.png|600px|border|légende]]

[[File:gauss2_slm.png|600px|border|légende]]

== '''Taux de distorsion harmonique''' ==

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

<math> \cos \left( 2\,\pi\,\nu_0 \,x\right) \, \overset{\mathrm{TF}}{\mapsto} \, \dfrac{1}{2} \left( \delta \left(\nu - \nu_0 \right) + \delta \left(\nu + \nu_0 \right) \right) </math>

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à <math> 2\,\nu_0 </math>, <math> 3\,\nu_0 </math>, etc.

[[File:sinus_slm.png|border|600px|légende]]

C'est un effet appelé '''distorsion harmonique'''. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

<math>
\mathrm{THD} = \dfrac{\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}} = \sqrt{\dfrac{\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}
</math>

&clubs; Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

== '''Échantillonnage''' ==

À venir

= '''TP - Holographie numérique'''=

Lorsqu'on ouvre sur '''Holoeye''' une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

[[File:hologramme1.png|border|légende]]

'''Algorithme de Gerchberg-Saxton'''

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

[[File:hologramme2.png|border|légende]]

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

[[File:hologramme3.png|border|600px|légende]]

&clubs; Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

= '''TP - Optique adaptative'''=

À venir

= '''Ressources pédagogiques '''=

* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=2897| cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin] pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/view.php?id=3551| cours de TDS en S3 de Florence Alberge] pour la transformée de Fourier.
* Le [https://cours.iut-orsay.fr/course/index.php?categoryid=1214| cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb] pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.