Modulation spatiale de lumière

Principe de la modulation spatiale de lumière

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La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer, dans le plan de Fourier, la figure de diffraction d'un faisceau laser vert à la longueur d'onde $\lambda =532\,\mathrm {nm}$ à travers cette pupille. Cet écran pilotable a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

Le schéma optique est le suivant...

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Connexion et manipulation distante

Se connecter à la station de travail pcj218-18, lancer l'utilitaire SLM.exe situé dans le dossier T:\Mphy\Cartable\TP_SLM.

Description de l'utilitaire

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Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran

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Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier

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Avertissement

Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.

TP - Diffraction par une pupille quelconque

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TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes

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TP - Simulation de transformées de Fourier

Transformées de Fourier à deux variables

Soit une variable spatiale $x$ et sa variable réciproque (fréquence spatiale) $\nu$. On note la transformée de Fourier l'application :

$f(x)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\widehat {f}}\left(\nu \right)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {e} ^{-j\,2\,\pi \,\nu \,x}\,\mathrm {d} x\,.$

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale $F$, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission $t\left(x,y\right)$ de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. Avec $(x,y)$ les coordonnées spatiales au niveau du SLM et $(X,Y)$ les coordonnées au niveau du plan de Fourier, l'intensité lumineuse $I(X,Y)$ observée vérifie alors :

$I(X,Y)\propto \left|{\widehat {t}}\left({\frac {X}{\lambda \,F}},{\frac {Y}{\lambda \,F}}\right)\right|^{2}$.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont $\nu _{X}=X/(\lambda \,F)$ et $\nu _{Y}=Y/(\lambda \,F)$.

Propriétés de la transformée de Fourier

Changement d'échelle

On a $f\left({\dfrac {x}{T}}\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,T\times {\widehat {f}}\left(\xi \times T\right)$. Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera  $\left|T\right|^{2}\times \left|{\widehat {f}}\left(\xi \times T\right)\right|^{2}$.

Translations

Dans l'espace direct

On a $f(x-a)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,\mathrm {e} ^{-2\,j\,\pi \,a\,\xi }\times {\widehat {f}}\left(\xi \right)$. Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

Dans l'espace réciproque

$f(x)\cos \left(2\,\pi \,\xi _{0}\,x\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\dfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}\left(\xi -\xi _{0}\right)+{\widehat {f}}\left(\xi +\xi _{0}\right)\right)$

Produit de convolution

$f\circ g\left(x\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\widehat {f}}\left(\xi \right)\times \,{\widehat {g}}\left(\xi \right)$

Fonction stable par transformée de Fourier

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Échantillonnage

À venir

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TP - Holographie numérique

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TP - Optique adaptative

À venir

Ressources pédagogiques

Les sujets de TP sont disponibles...