Modulation spatiale de lumière

Après une description de la plateforme expérimentale que représente le modulateur spatial de lumière et de son pilotage à distance, des courtes propositions de TP sont faites.

Le symbole ♣ marque des tâches expérimentales à suivre pour poursuivre les objectifs des TP.

Principe de la modulation spatiale de lumière

légende

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La manipulation consiste à piloter un écran à cristaux liquides à transmission pour générer une pupille d'étude et observer la figure de diffraction en champ lointain d'un faisceau laser à travers cette pupille.

Cet écran LC2012 de chez Holoeye est pilotable par ordinateur a une résolution de 1024 x 768 et des pixels carrés d'une taille de 36 µm. Il rafraîchit à 60 fps et chaque pixel admet 256 niveaux de gris (codage 8 bits).

L'écran à cristaux liquides est appelé modulateur spatial de lumière ou SLM (pour spatial light modulator).

Le schéma optique du dispositif expérimental est représenté ci-après.

Ce dispositif est constitué d'une source laser verte à la longueur d'onde $\lambda =532\,\mathrm {nm}$ élargie pour éclairer le plus largement possible la surface du SLM. Il est important d'avoir une source cohérente (peu large spectralement) pour observer correctement les figures de diffraction structurées issues de phénomènes d'interférences à plusieurs ondes. ​ Les cristaux liquides du SLM permettent d'induire un déphasage à l'onde de lumière, pilotable sur la taille d'un pixel. Cette modulation de la phase de l'onde est transformée en modulation d'intensité grâce à deux polariseurs croisés situés de part et d'autre, notés ${\mathcal {P}}$ sur le schéma. C'est cet ensemble qui constitue véritablement la pupille diffractante que l'on teste.

Le faisceau émergent suit ensuite deux chemins en passant par une lame semi-réfléchissante. Une voie sert à visualiser à la webcam l'image directe, grossie à l'aide d'une lentille divergente, de la pupille créée sur un écran blanc. Sur l'autre voie, on place une lentille ${\mathcal {L}}_{\Pi }$ de distance focale $F$ et, dans son plan focal que l'on appellera plan de Fourier, une caméra Thorlabs. Sur le plan de Fourier, convergent les faisceaux provenant de l'infini, ce qui assure une observation de la figure de diffraction dans les conditions de Fraunhofer.

Connexion et manipulation distante

Se connecter à la station de travail pcj218-18, lancer l'utilitaire SLM.exe situé dans le dossier T:\Mphy\Cartable\TP_SLM.

Description de l'utilitaire

L'utilitaire SLM.exe est simplement constitué de 5 boutons permettant de lancer des raccourcis vers les différentes applications utiles à la manipulation à distance. Les 4 premiers boutons sont à déclencher dès le démarrage de la manipulation et le dernier ne doit pas être oublier lorsqu'on quitte.

• Ouvrir la webcam : permet d'observer l'expérience, l'écran image de la pupille et visualiser l'éclairage, grâce à un flux vidéo lancé dans le navigateur web.
• Allumer le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'allument.
• Piloter le SLM : lance l'application du constructeur Holoeye pour commander l'écran avec de nombreuses fonctionnalités.
• Ouvrir ThorCam : lance l'application du constructeur Thorlabs pour capturer l'image et l'analyser.
• Éteindre le laser : permet, en lançant une page php dans le navigateur web, de commuter l'interrupteur de la prise connectée pour que le laser et l'éclairage d'observation s'éteignent.

Logiciel Holoeye de pilotage de l'écran

• Au lancement, le logiciel Holoeye reconnaît l'écran LC2012, branché en HDMI et affiche ses caractéristiques. Il faut cliquer sur use Device.

• La longueur d'onde de travail est spécifiée, il faut cliquer sur Ok. Le logiciel qui s'ouvre permet alors soit d'ouvrir une image à envoyer au SLM, soit d'en créer une parmi quelques fonctions optiques de référence.

• Une fois une image chargée depuis un fichier local, automatiquement convertie en 256 niveaux de gris puis deux options se présentent. Soit sa résolution est supérieure aux 1024 x 768 pixels de l'écran. Dans les icônes au dessus de l'image, on note une option de sauvegarde, une option de zoom, un dé-zoom et une dernière icône permettant de répliquer l'image à la taille du SLM. Enfin, si l'image ouverte a une résolution inférieure aux 1024 x 768 pixels, une dernière icône s'affiche à droite : il est alors possible d'exécuter un script d'holographie comme décrit dans la partie TP-Holographie numérique.

• À droite de l'image à envoyer au SLM se trouve des outils de correction du front d'onde, un outil de gestion du contraste de la pupille qui sera très utile dans la suite, une option de sauvegarde et, surtout, un interrupteur pour envoyer le signal.

Logiciel Thorlabs d'observation du plan de Fourier

Une caméra scientifique dédiée à la mesure est placée au plan de Fourier pour l'observation et l'analyse de la figure de diffraction.

• Une fois le logiciel lancé, sélectionner dans le menu déroulant la caméra CS165CU. Une fois le bouton marche enclenché, l'image du plan de Fourier s'affiche.

• Parmi les outils à prendre en main se trouve le temps d'exposition dans l'onglet des réglages et également les coupes horizontales et verticales permettant de tracer des profils de luminosité.

Avertissement

Pour éviter toute surchauffe du système, il faut impérativement éteindre le laser après l'utilisation.

TP - Diffraction par une pupille quelconque

Dans l'application Holoeye, n'importe quelle image peut être ouverte, convertie en niveaux de gris et envoyée sur l'écran SLM.

♣ Ouvrir Paint ou n'importe quel autre logiciel de dessin et esquisser l'allure d'une pupille d'intérêt.

♣ Dans Holoeye, ouvrir cette image et, si sa résolution le suggère, la répliquer sur tout l'écran du SLM à l'aide du bouton à droite de l'outil de dé-zoom.

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Un exemple

On trace, à l'aide de Paint, une étoile à 5 branches que l'on envoie au centre de la pupille créée par le SLM. Puis on observe la figure de diffraction présentant 5 "lignes" concentriques.

On reproduit l'étoile mais translatée dans le plan cette fois.

C'est exactement la même figure de diffraction que l'on retrouve, un peu moins lumineuse cependant. Le fait que la figure de diffraction de Fraunhofer soit toujours centrée et identique à la précédente est expliqué dans le TP simulation de transformées de Fourier situé un peu plus loin.

On peut ainsi mettre à profit un ensemble de nombreuses pupilles identiques translatées dans le plan du SLM pour optimiser la luminosité dans le plan de Fourier. En effet, elles vont toutes contribuer à la même figure de diffraction au centre.

Simuler la diffraction par une molécule d'ADN

La découverte de la structure spatiale de l'ADN a été faite par diffraction de rayons X dans l'équipe de R. Franklin en 1952 au King's College de Londres. À l'aide de la démarche précédente, on peut repartir d'un modèle bidimensionnel de la double hélice (double croisillon) pour simuler la figure de diffraction qui est restée dans l'histoire comme le cliché 51.

♣ Reproduire ce travail de simulation du cliché 51.

♣ Changer les paramètres importants sur la figure, comme l'angle entre les croisillons ou le pas de l'hélice, l'épaisseur des brins, la distance entre ces derniers et en déduire leur influence sur la diffraction. Quel effet note-t-on entre la simulation avec un croisillon simple et un croisillon double ?

♣ Simuler l'influence des paires de bases azotées des nucléotides situées sur les deux brins complémentaires en rajoutant des lignes périodiquement entre les brins.

Principe de Babinet

Le principe de Babinet stipule que la figure de diffraction d'une pupille est identique à celle engendrée par la pupille complémentaire (en inversant parties opaques et parties transparentes), excepté pour l'intensité au voisinage immédiat de la direction donnée par l'optique géométrique. Il s'agit d'un théorème mathématiquement démontrable.

♣ Utiliser dans Holoeye la fonction optique essentielle de création d'une ouverture de type fente fine (essential optical functions>Aperture functions>show single slit). Choisir par exemple une largeur de 30 pixels. Observer sur Thorcam la figure de diffraction.

♣ Dans les outils de gestion du contraste au dessus du bouton "feu vert" d'affichage à l'écran du SLM dans Holoeye, utiliser l'inversion exact des valeurs (invert currently displayed bitmap). Observer l'effet sur la figure de diffraction et illustrer ainsi le principe de Babinet : un cheveu et une fente de même dimensions engendrent la même figure.

Pouvoir de résolution des instruments d'optique

Dans les instruments d'optique usuels (télescopes, lunettes, microscopes, ...), les ouvertures sont circulaires. La lumière diffractée par ces ouvertures, formant ce que l'on appelle une tache d'Airy, fixe une limite à la résolution des instruments.

♣ Grâce à l'outil de tracé d'ouverture circulaire et la répétition de motif, définir l'influence du diamètre d'ouverture des optiques sur la taille caractéristique de la tache de diffraction et donc sur la limitation du pouvoir de résolution.

Le critère de résolution le plus souvent retenu est celui de Rayleigh, stipulant que deux points lumineux seront séparables à condition que la première annulation de la tache d'Airy créée par le premier point lumineux correspond au maximum de la tache liée au second point.

♣ Simuler différentes situations où l'on passe de deux points lumineux bien résolus à une situation d'indiscernabilité des sources.

TP - De la diffraction par une fente aux interférences à N-ondes

Les phénomènes de diffraction et d'interférences sont intimement liés. On propose ici de déterminer l'évolution de la figure de diffraction dans différents cas, en regardant avec attention le nombre de pics lumineux et leur largeur à l'aide de l'outil de coupe de Thorlabs. On utilisera les termes tache centrale, taches secondaires, interfrange et ordres d'interférence.

♣ À l'aide de l'outil de création de fonction optique de Holoeye, créer une fente fine (essential optical functions>Aperture functions>show single slit) noire sur fond blanc (invert currently displayed bitmap), et caractériser l'influence de la largeur de la fente.

♣ Créer un système de deux fentes fines (...> show double slits) noires sur fond blanc, et caractériser l'influence de l'espacement entre les bifentes.

♣ Créer un réseau de fentes fines (Essential optical functions > Binary beam-splitter grating > Show binary linear grating) noires sur fond blanc, décrire la figure et caractériser l'influence de sa période, de son pas.

TP - Simulation de transformées de Fourier

Transformées de Fourier à deux variables

Soit une variable spatiale $x$ et sa variable réciproque (fréquence spatiale) $\nu$. On appelle transformée de Fourier l'application :

$f(x)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\widehat {f}}\left(\nu \right)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {e} ^{-j\,2\,\pi \,\nu \,x}\,\mathrm {d} x\,.$

Cette transformée de Fourier se généralise à deux dimensions :

$f(x,y)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\widehat {f}}\left(\nu _{x},\nu _{y}\right)=\iint _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,\mathrm {e} ^{-j\,2\,\pi \,\nu _{x}\,x}\,\,\mathrm {e} ^{-j\,2\,\pi \,\nu _{y}\,y}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,.$

On montre que, dans l'approximation de Fraunhofer d'observation dans le plan focal d'une lentille convergente de focale $F$, il existe un lien de transformée de Fourier entre le facteur de transmission $t\left(x,y\right)$ de la pupille créée sur le modulateur spatial de lumière et l'amplitude lumineuse diffractée au niveau du plan de Fourier. On a noté $(x,y)$ les coordonnées spatiales dans le plan du SLM. On note maintenant $(X,Y)$ les coordonnées au niveau du plan de Fourier. L'intensité lumineuse $I(X,Y)$ observée vérifie alors :

$I(X,Y)\propto \left|{\widehat {t}}\left({\frac {X}{\lambda \,F}},{\frac {Y}{\lambda \,F}}\right)\right|^{2}$.

On remarque que les variables réciproques représentant des fréquences spatiales sont $\nu _{X}=X/(\lambda \,F)$ et $\nu _{Y}=Y/(\lambda \,F)$.

Propriétés de la transformée de Fourier

Changement d'échelle

On a :

$f\left(T\times x\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\dfrac {1}{T}}\times {\widehat {f}}\left({\dfrac {\nu }{T}}\right)$.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après changement d'échelle sera proportionnel à $\left|{\widehat {f}}\left({\dfrac {\nu }{T}}\right)\right|^{2}$.

♣ Créer une pupille de diffraction rectangulaire de taille $a\times b=20\times 30\,\mathrm {pixels}$. Celle-ci peut-être décrite comme une fonction $t\left(x,y\right)=\Pi _{a}\left(x\right)\times \Pi _{b}\left(y\right)$ avec $\Pi$ la fonction porte. Prédire l'allure de la figure de diffraction et l'observer.

♣ Réitérer l'expérience en multipliant chaque dimension par un coefficient $T\in \left[1,\,5\right]$. Tracer un graphique d'une dimension caractéristique mesurée dans le domaine de Fourier en fonction de la taille des portes.

Translations

Dans l'espace direct

On a :

$f(x-a)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,\mathrm {e} ^{-2\,j\,\pi \,a\,\nu }\times {\widehat {f}}\left(\nu \right)$.

Donc l'intensité observée dans le plan de Fourier après translation de la pupille sera inchangée.

♣ Reproduire, sur une pupille de votre choix, l'observation de l'effet de la translation sur la figure de diffraction qui a été faite au premier point du TP sur la diffraction par une pupille quelconque.

Dans l'espace réciproque

On a :

$f(x)\cos \left(2\,\pi \,\nu _{0}\,x\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\dfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}\left(\nu -\nu _{0}\right)+{\widehat {f}}\left(\nu +\nu _{0}\right)\right)$

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Interlude : TF(cercle) = Sombrero

Fonction Sombrero, définie à partir de la fonction de Bessel $J_{1}$

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle I(\rho) = I_0 \, \mathrm{Somb}(\rho)^2 \quad \mathrm{où} \mathrm{Somb}(\rho) = \dfrac{2\,J_1(\rho}{\pi\,\rho} } avec la coordonnée polaire radiale $\rho ^{2}=X^{2}+Y^{2}$ et $J_{1}$ la fonction de Bessel de premier ordre.

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♣

Produit de convolution

On a :

$f\circ g\left(x\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\widehat {f}}\left(\nu \right)\times \,{\widehat {g}}\left(\nu \right)$

♣

TP sur la diffraction par une bifente

Fonction stable par transformée de Fourier

La densité de probabilité de la loi normale est donnée par une fonction de Gauss, qui est une courbe en cloche caractérisée par son écart type que l'on notera $\sigma$.

Cette fonction a la particularité de redonner une fonction de Gauss par transformée de Fourier.

À deux dimensions, la distribution gaussienne et sa transformée de Fourier sont données par : $f(x,y)={\dfrac {1}{2\,\pi \,\sigma _{x}\,\sigma _{y}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {x^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right]\right)\quad {\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\quad {\widehat {f}}(\nu _{x},\nu _{y})=\exp \left(2\,\pi ^{2}\left[\nu _{x}^{2}\,\sigma _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}\,\sigma _{y}^{2}\right]\right)$

On pourra récupérer une pupille gaussienne dans le dossier T:\Mphy\Cartable\TP_SLM.

♣ Simuler la transformée de Fourier d'une distribution gaussienne et l'évolution de l'écart type dans le plan de Fourier en fonction de l'écart type ayant servi à fabriquer la pupille. On utilisera l'outil de zoom ou dé-zoom, que l'on suppose linéaire, pour varier simplement ce paramètre.

Taux de distorsion harmonique

La transformée de Fourier d'un cosinus s'écrit comme une somme de deux distributions de Dirac symétriques :

$\cos \left(2\,\pi \,\nu _{0}\,x\right)\,{\overset {\mathrm {TF} }{\mapsto }}\,{\dfrac {1}{2}}\left(\delta \left(\nu -\nu _{0}\right)+\delta \left(\nu +\nu _{0}\right)\right)$

Cependant lorsqu'on impose un réseau sinusoïdal, on observe qu'en plus des ordres 1 et -1 apparaissant symétriquement par rapport à la tâche centrale, l'énergie lumineuse se répartit dans des ordres plus éloignés à $2\,\nu _{0}$, $3\,\nu _{0}$, etc.

C'est un effet appelé distorsion harmonique. Pour quantifier cet effet, on calcule le taux de distorsion harmonique à l'aide de la formule suivante :

$\mathrm {THD} ={\dfrac {\text{Valeur efficace des harmoniques}}{\text{Valeur efficace du fondamental}}}={\sqrt {\dfrac {\text{Puissance des harmoniques}}{\text{Puissance du fondamental}}}}$

♣ Estimer le taux de distorsion harmonique en reproduisant l'expérience de diffraction du réseau sinusoïdal.

Échantillonnage

À venir

TP - Holographie numérique

Lorsqu'on ouvre sur Holoeye une image de suffisamment basse résolution, une icône en haut à droite apparaît. Elle permet d'exécuter un algorithme de création d'hologramme numérique.

Algorithme de Gerchberg-Saxton

À venir

Une fenêtre de dialogue propose de paramétrer le calcul de cet hologramme.

On peut noter que la pupille créée pour l'observation de l'image cible dans le plan de Fourier paraît très désordonnée.

♣ Réaliser l'hologramme numérique d'une pupille simple (un smiley, un logo,...). Qu'observe-t-on lorsqu'on inverse le contraste de l'hologramme ?

TP - Optique adaptative

À venir

Ressources pédagogiques

• Le cours de Systèmes Optiques en S2 de Loïc Rondin pour la limite de diffraction des instruments d'optique.
• Le cours de TDS en S3 de Florence Alberge pour la transformée de Fourier.
• Le cours d'Optique ondulatoire en S3 de Fabienne Goldfarb pour la théorie de la diffraction de Fraunhofer.